Integrales indefinidas: Resolución2

Presta especial atención a las integrales número 60, 61, 65, 70, 73, 76, 79, 81, 87, 95 y 100.

51)

RESOLUCIÓN: esta integral es similar a las tres anteriores, por lo que seguiremos la misma estrategia, es decir, trataremos de eliminar la raíz (cúbica en este caso). Haremos el cambio de variable t³=x–1 y desarrollaremos lo que salga: Después desharemos el cambio.

52)

RESOLUCIÓN: esta es la integral de un producto. Vamos a resolverla por partes:

53)

RESOLUCIÓN: esta es la integral de un producto. Vamos a resolverla por partes:

54)

RESOLUCIÓN: esta es la integral de un producto. Vamos a resolverla por partes: Necesitaremos reiterar el procedimiento:

vamos a reiterar el procedimiento eligiendo como función u, de nuevo, al polinomio. Esto lo hacemos así porque conforme derivemos u irá bajando el grado del polinomio hasta que desaparezca.

podemos agrupar el resultado obtenido agrupando los cosenos:

55)

RESOLUCIÓN: esta es la integral de un producto. Vamos a resolverla por partes: Como función u tomaremos el logaritmo. Esto lo hacemos así porque de lo contrario, si fuese dv, habría que integrarlo, lo que no es sencillo.

56)

RESOLUCIÓN: esta es la integral de un producto. Vamos a resolverla por partes: Necesitaremos reiterar el procedimiento:

vamos a reiterar el procedimiento. Hay que tener cuidado con los signos durante las operaciones:

Ahora tenemos que integrar la exponencial, que es inmediata. Vamos a hacerla aparte y luego sustituiremos el resultado:

Sustituimos en la expresión antes hallada:

en este resultado podemos sacar factor común las exponenciales y agrupar el polinomio:

57)

RESOLUCIÓN: esta es la integral de un producto. Vamos a resolverla por partes: Necesitaremos reiterar el procedimiento eligiendo como función u, de nuevo, al polinomio. Esto lo hacemos así porque conforme derivemos u irá bajando el grado del polinomio hasta que desaparezca.

vamos a reiterar el procedimiento con la nueva integral que hemos obtenido. Luego sustituiremos lo hallado:

Sustituimos en el resultado anterior:

Ahora resolveremos por partes la nueva integral que ha aparecido:

Por fin hemos llegado a una integral inmediata. Basta con multiplicar y dividir por ½ para tener la derivada del argumento del coseno. Aplicamos la regla de integración

Ya podemos sustituir el resultado encontrado en la cadena de integrales:

Para expresar el resultado hemos agrupado en seno y coseno de x/2.

58)

RESOLUCIÓN: esta integral se resuelve por partes () de la siguiente manera:

59)

RESOLUCIÓN: esta integral se resuelve por partes () de la siguiente manera:

la nueva integral que hemos obtenido es una potencial (polinomio 1-x² elevado a –1/2) donde casi tenemos la derivada de la base (basta con multiplicar y dividir por –2). Utilizaremos para resolverla la regla de integración

Ahora sustituimos el valor de la integral en el resultado hallado anteriormente:

queda:

60)

RESOLUCIÓN: esta integral se resuelve por partes (). Presenta la particularidad de que al reiterar el procedimiento reaparece la integral inicial. Para terminar de resolverla hay que agrupar las integrales.

Como se puede ver después de reiterar el procedimiento vuelve a aparecer la integral inicial. Lo que haremos es despejar. De momento tenemos:

61)

RESOLUCIÓN: esta es la integral de un producto. Vamos a resolverla por partes: Necesitaremos reiterar el procedimiento.

Como se puede ver después de reiterar el procedimiento vuelve a aparecer la integral inicial. Lo que haremos es despejar. De momento tenemos:

62)

RESOLUCIÓN: esta integral se puede resolver por partes. Como función u tomaremos el polinomio, cuya derivación siempre simplifica el polinomio. Como dv tomaremos la exponencial, que es fácil de integrar:

63)

RESOLUCIÓN: esta integral tiene un triple producto. Siempre que tengamos el producto de un seno por un coseno podemos recurrir a la fórmula trigonométrica del seno del ángulo doble: . Podemos recurrir a esta expresión multiplicando y dividiendo por 2 en la integral:

Ahora que tenemos la integral de un producto podemos aplicar la integración por partes:

Sólo nos queda resolver la nueva integral que hemos hallado y sustituir el resultado.

Para resolver la integral del coseno del ángulo doble multiplicamos y dividimos por 2 para tener la derivada del argumento del coseno. Entonces la integral será inmediata:

Sustituyendo en lo que ya habíamos hallado:

queda:

64)

RESOLUCIÓN: podemos expresar esta integral como producto y utilizar la integración por partes . Luego tomaremos como u el logaritmo, que es más fácil de derivar que de integrar.

la integral que tenemos ahora es una inmediata de tipo potencial:

Ahora sustituimos el valor hallado:

65)

RESOLUCIÓN: esta integral sería inmediata si el seno fuera de t en vez de ser el seno de un logaritmo. Por eso, como primer paso en la resolución vamos a hacer el cambio de variable t=lnx:

hemos necesitado expresar x en función de t, y como t=ln(x) utilizando las leyes de los logaritmos x=e^t. Ahora tenemos una integral, en función de t, que puede resolver por partes (de hecho resolvimos la misma integral en el ejercicio 60, y daba). Sustituyendo el resultado obtenemos:

Para ver porqué e^lnx vale x hay que utilizar las leyes de los logaritmos: primero suponemos que e^lnx=k, y aplicamos logaritmos a la ecuación ln(e^lnx)=lnk. Ahora aplicamos las leyes de los logaritmos: lnx·lne=lnk, como lne=1 queda lnx=lnk, de donde x=k, es decir como supusimos que e^lnx=k, entonces e^lnx=x

66)

RESOLUCIÓN: esta integral es inmediata. Se trata de una función racional que se puede integrar utilizando la regla de integración :

Esta integral también se puede resolver haciendo un cambio de variable, llamando t a la función f:

67)

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x²–5x+6=(x–2)(x–3). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos dos integrales racionales inmediatas utilizando la relación:

68)

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x²–6x+8=(x–2)(x–4). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos dos integrales racionales inmediatas utilizando la relación:

69)

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos dos integrales racionales inmediatas utilizando la relación:

70)

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Lo primero que podemos hacer es extraer de la integral las constantes que podamos:

Ahora factorizamos el denominador: x²–6x+9=(x–3)² Tenemos una raíz repetida, por lo que vamos a expresar las fracciones simples de la siguiente manera:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos dos integrales inmediatas. La primera es una racional del tipo: , y la segunda es una potencial del tipo que debemos expresar como (x–3)^-2 para verla.

Ahora sustituimos este resultado en el primer desglose de la integral:

71)

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Ocurre que la factorización no es exacta, pero eso no compromete la eficacia del método de fracciones simples. Podemos factorizar utilizando la relación de diferencia de cuadrados es igual al producto de suma por diferencia:

Ahora vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos dos integrales racionales inmediatas utilizando la relación:

y, racionalizando el resultado sale:

También podríamos utilizar propiedades de los logaritmos y expresar la solución así:

72)

RESOLUCIÓN: esta integral se “parece” a la del arcotangente. Únicamente necesitamos que el 4 se convierta en 1. Esto podemos conseguirlo dividiendo numerador y denominador entre 4:

ahora tenemos una integral del “tipo arcotangente”, que sería inmediata si dispusiéramos de la derivada de la función, que es ½. Para ello multiplicamos y dividimos por ½ y aplicamos la regla de integración

Esta integral también se puede resolver haciendo un cambio de variable llamando t a la función:

73)

RESOLUCIÓN: esta integral podría ser inmediata tipo racional si tuviéramos como numerador la derivada del denominador. Esto podemos conseguirlo manipulando el quebrado:

La primera de las integrales es una racional inmediata (es lo que hemos buscado).

Sustituimos:

La segunda de las integrales la podemos manipular para conseguir un tipo arcotangente:

Sustituyendo:

74)

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x²–6x–7=(x–7)(x+1). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos dos integrales racionales inmediatas utilizando la relación:

podemos sacar factor común y aplicar las leyes de los logaritmos:

75)

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simples. Nos vamos a encontrar con el problema de la factorización del denominador. Para encontrar las raíces del denominador lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado:

Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos dos integrales racionales inmediatas utilizando la relación:

76)

RESOLUCIÓN: esta integral podría ser inmediata tipo racional si tuviéramos como numerador la derivada del denominador. Esto podemos conseguirlo manipulando el quebrado:

Tenemos:

La primera de las integrales es una racional inmediata al tener como numerador la derivada del denominador. Podemos aplicar la regla de integración

La segunda de las integrales se puede manipular para convertirla en una potencial inmediata:

Sustituyendo queda:

Esta integral también puede hacerse por el método de fracciones simples, teniendo en cuenta que el denominador tiene raíces múltiples: x²-4x+4=(x–2)² vamos a expresar las fracciones simples de la siguiente manera:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos dos integrales inmediatas. La primera es una racional del tipo: , y la segunda es una potencial del tipo que debemos expresar como (x–2)^-2 para verla.

Hemos obtenido:

77)

RESOLUCIÓN: esta integral es una racional en la que casi tenemos como numerador la derivada del denominador, bastaría con multiplicar y dividir por 2. Podemos aplicar la regla de integración

También podemos resolver esta integral haciendo un cambio de variable, llamando t a la función:

78)

RESOLUCIÓN: esta integral es una racional en la que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Por ello lo primero es dividir los polinomios.

Sustituyendo en la integral:

Esta nueva integral la podemos resolver por la técnica de fracciones simples. Para ello hay que factorizar el denominador: (x²-9)=(x+3)(x–3). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos dos integrales racionales inmediatas utilizando la relación:

podemos sacar factor común y aplicar las leyes de los logaritmos:

Ahora podemos sustituir:

79)

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x³+3x²–4x–12=(x+2)(x–2)(x+3). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos tres integrales racionales inmediatas utilizando la relación:

80)

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x³–2x²–5x+6=(x+2)(x–3)(x–1). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos tres integrales racionales inmediatas utilizando la relación:

81)

RESOLUCIÓN: esta integral es una racional en la que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Por ello lo primero es dividir los polinomios.

Sustituyendo en la integral:

Esta nueva integral la podemos resolver por la técnica de fracciones simples. Para ello hay que factorizar el denominador: (x³–x²+x–1)=(x–1)(x²+1). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples teniendo en cuenta que uno de los polinomios es de segundo grado:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

la primera de las integrales es una racional inmediata que podemos resolver con:

En la segunda de las integrales podemos separar el quebrado y luego la integral en resta de integrales:

Ahora podemos sustituir todos estos resultados:

82)

RESOLUCIÓN: esta integral es una racional en la que casi tenemos como numerador la derivada del denominador, bastaría con multiplicar y dividir por 2. Podemos aplicar la regla de integración

También podemos resolver esta integral haciendo un cambio de variable, llamando t a la función:

83)

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x³–5x²+6x=x(x–3)(x–2). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos tres integrales racionales inmediatas utilizando la relación:

84)

RESOLUCIÓN: esta es una integral racional que podemos intentar por fracciones simples. Si conseguimos separar los dos factores podemos tratar de encontrar integrales del tipo arcotangente. Por eso vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples de la siguiente manera:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos dos integrales racionales inmediatas utilizando la relación: Queda:

85)

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x³–5x²+4x=x(x–1)(x–4). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos tres integrales racionales inmediatas utilizando la relación:

86)

RESOLUCIÓN: esta integral es una racional en la que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Por ello lo primero es dividir los polinomios.

Sustituyendo en la integral:

Esta nueva integral la podemos resolver por la técnica de fracciones simples. Para ello hay que factorizar el denominador: (x⁴–1)=(x–1)(x+1)(x²+1). Podemos tratar de encontrar integrales del tipo racional y del tipo arcotangente. Por eso vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples de la siguiente manera:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

ahora tenemos dos integrales racionales inmediatas utilizando la relación: y otra integral tipo arcotangente, también inmediata utilizando la relación:

87)

RESOLUCIÓN: Esta integral la podemos resolver por la técnica de fracciones simples. Para ello ya tenemos factorizado el denominador: (x–2)(x+2)(x²+10x+26). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples teniendo en cuenta que uno de los polinomios es de segundo grado:

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

por lo tanto:

Ahora tenemos que resolver la integral racional, que es del tipo arcotangente. Esto se puede ver cuadrando el denominador:

Sustituyendo queda:

88)

RESOLUCIÓN: Vamos a tratar de convertir esta integral en una del tipo potencial para poder resolverla utilizando la regla de integración . Para ello vamos a utilizar la relación fundamental de la trigonometría:

Hemos obtenido dos integrales potenciales inmediatas que podemos resolver con la relación de integración de la siguiente manera:

Estas integrales también pueden resolverse haciendo un cambio el variable t igual a la función:

sustituyendo los resultados tenemos resuelta la integral:

89)

Hemos obtenido dos integrales potenciales inmediatas que podemos resolver con la relación de integración de la siguiente manera:

Estas integrales también pueden resolverse haciendo un cambio el variable t igual a la función:

sustituyendo los resultados tenemos resuelta la integral:

90)

Hemos obtenido dos integrales potenciales casi inmediatas (basta con multiplicar por –1 para tener la derivada de la base) que podemos resolver con la relación de integración de la siguiente manera:

Estas integrales también pueden resolverse haciendo un cambio el variable t igual a la función:

sustituyendo los resultados tenemos resuelta la integral:

91)

RESOLUCIÓN: Dado que integrar un producto es complicado, vamos a tratar de convertirlo en una suma (o resta). Para ello utilizamos las relaciones trigonométricas que convierten productos de senos por cosenos en sumas:

Ahora podemos separar la integral en suma de integrales;

Obtenemos dos integrales inmediatas del tipo :

92)

Hemos utilizado la propiedad del seno del ángulo opuesto:

Ahora podemos separar la integral en resta de integrales;

Obtenemos dos integrales inmediatas del tipo :

93)

Hemos utilizado la propiedad del coseno del ángulo opuesto:

Ahora podemos separar la integral en resta de integrales;

Obtenemos dos integrales inmediatas del tipo :

94)

Ahora podemos separar la integral en suma de integrales;

Obtenemos dos integrales inmediatas del tipo :

95)

RESOLUCIÓN: En este tipo de integrales vamos a utilizar uno de los cambios de variables “mágicos”, que es:

Vamos a sustituir las expresiones del seno y coseno halladas:

Hemos conseguido una integral racional inmediata utilizando la regla de integración:

96)

RESOLUCIÓN: Vamos a utilizar la ley fundamental de la trigonometría:

Ahora tenemos dos integrales que son inmediatas (la segunda es obvio). Veamos la primera de ellas:

Ahora sustituimos en la integral:

97)

RESOLUCIÓN: Multiplicamos y dividimos por cos(x):

Vamos a hacer el cambio de variable t=sen(x)

Esta integral es una racional que se podrá resolver por partes, pero primero hay que dividir los polinomios ya que el grado del numerador es mayor que el del denominador:

sustituyendo en la integral:

La última integral podemos resolverla por fracciones simples. Para ello factorizamos el denominador así:1-t²=(1+t)(1-t), y expresamos el quebrado de la siguiente manera: