TALLER DE MATEMÁTICAS ASISTIDO POR ORDENADOR - 4º E.S.O.
Actividades propuestas:
Números naturales y números pares
Cuestiones:
- Contar sin contar: ¿cómo sabrías si en una manifestación hay más chicos o hay más chicas? Recuerda, está prohibido contar... porque no hace falta.
- ¿Hay más números pares que naturales? ¿es al revés? ¿por qué?
El Hotel de Hilbert
Si un hotel está completo y viene alguién pidiendo una habitación no tendremos más remedio que decirle que no hay sitio. Sin embargo el Hotel de Hilbert es un tanto especial: tiene infinitas habitaciones. Podemos imaginarlo como un pasillo infinito con infinitas puertas numeradas (las habitaciones son unipersonales).
Cuestiones:
- Si el hotel de Hilbert está completo y viene alguién pidiendo una habitación ¿se la podemos dar? ¿qué habitación le damos?
- Si el hotel de Hilbert está completo y vienen 10 personas pidiendo habitación ¿qué habitación les damos?
- Si llega el autocar infinito de Hilbert con infinitos pasajeros para alojarse en el Hotel de Hilbert, ¿cómo les alojamos? ¿qué habitaciones les damos?
Sucesiones y series
Al contrario de lo que nos indica la intuición, sumando infinitos números no obtenemos siempre infinito.
Cuestiones:
- ¿Cuánto da la siguiente suma infinita? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... (pon la suma en notación sumatorio)
- ¿Cuánto da la siguiente suma infinita:
conocida como serie armónica?
- ¿Cuánto da la siguiente suma infinita
(serie de los inversos de las potencias de dos)?
- ¿Cuánto da la siguiente suma infinita
(serie de los inversos de las potencias de tres)?
Propuesta de Adrián Tamayo:
¿Cuánto vale la suma infinita
![serie de los inversos de las potencias de tres](imagenes/SerieInvPotn.JPG)
(serie de los inversos de las potencias de n) para n natural mayor que 1?
¿Números imposibles?
Hay números que NO SE PUEDEN EXPRESAR COMO UN QUEBRADO... ¿cuáles son estos números? ¿Puedes decir alguno?
Pistas:
- Escribe unos cuantos quebrados variados y calcula su valor (usa una calculadora si quieres... pero ten cuidado). Observa cómo son los decimales que salen
- ¿Hay decimales que no pueden salir de dividir un quebrado? ¿cuáles son?
- Di cuáles de las siguientes fracciones son siempre reducibles: Par/Par, Par/Impar, Impar/Par, Impar/Impar
Sumando divisores: la función sigma de Euler
La función sigma de un número entero N se calcula sumando TODOS los divisores de ese número.
Por ejemplo, si queremos calcular
debemos primero hallar los divisores de
14, que son 1, 2, 7 y 14.
Entoces la función sigma de 14 será:
![](imagenes/Sigma14b.GIF)
Cuestiones:
- Calcula las funciones sigma desde 1 hasta 13
- ¿Cómo son las funciones sigma de los números primos? ¿cuánto valen? Según esto ¿el 1 es primo?
- Halla el valor de la función sigma de las potencias de 2.¿Cuánto vale
?
Seguimos sumando divisores...
Para ver qué es la función sigma de Euler mira el apartado anterior... y practica, ¡porque ahora hay nuevos retos!
Cuestiones:
- ¿Cuánto valdrá la función sigma del producto de dos números?
![](imagenes/Sigmaaporb.GIF)
- Si ya has contestado al enigma anterior... prueba con este:
![](imagenes/Sigmaaporbelevadoan.GIF)
- Después del tanto entrenamiento esta cuestión es fácil:
![](imagenes/Sigmaaelevaamporbelevadoan.GIF)
Lugares geométricos: la circunferencia
Un lugar geométrico está formado por un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.
Cuestiones:
- Halla la ecuación del lugar geométrico del conjunto de puntos que equidistan 5 unidades de otro punto C, de coordenadas (0,0)
- Halla la ecuación del lugar geométrico del conjunto de puntos que equidistan R de un punto C(cx, cy)
Representando rectas
Las funciones de la forma f(x) = m·x + n tienen como gráfica una recta.
Cuestiones:
- ¿Qué significado geométrico tiene el parámetro n?
- ¿Qué significado geométrico tiene el parámetro m?
Parábolas
Cuestiones:
- ¿Cómo puedes determinar el vértice de una parábola? Recuerda, buscaremos cuadrados perfectos aunque no los haya...
- ¿Cómo son todas las parábolas que tienen el mismo parámetro a?
Puedes encontrar
aquí cómo encontrar cuadrados perfectos (reales o corregidos) y su relación con la ecuación de segundo grado.
Estudiando funciones
Recuerda:
- En el estudio del dominio nos deben preocupar los denominadores y las raíces (si existen).
- Los puntos excluidos del dominio suelen estar relacionados con las asíntotas verticales.
- La asíntota horizontal puedes determinarla viendo qué ocurre si la x se hace infinito (positivo y negativo)
- El corte con el eje X se determina igualando la función a cero
- El corte con el eje Y se determina igualando x a cero
- Estudiar el signo de la función es igual que analizar la inecuación